Lékárna Lužice

Škola hrou
Trochu matematiky
aneb
Po stopách dávných počtářů

Konstanta π ("pí")

Svého času jsem přemýšlel, jak řecký učenec Archimédes (287 př. n. l.? – 212 př. n. l. Syrakusy, Sicílie) (Wikipedie)) dospěl k výpočtu konstanty π, jejíž hodnota je - jak známo - 3,14.

Proveďme si malý pokus:

Vezměme provázek řekněme 13 cm dlouhý a udělejme z něho dokonalý kruh. Poté změřme jeho průměr. Vyjde nám zhruba 4 cm. Nyní vydělme délku provázku s průměrem kruhu a vyjde nám číslice 3,25, což je při určité nepřesnosti měření v dobré shodě s čílem 3,14. A konstanta π je na světě!


Obsah kruhu

4. srpna jsem se tu zamýšlel nad tím, jak slavný řecký učenec Archimédes (287 př. n. l.? – 212 př. n. l. Syrakusy, Sicílie) (Wikipedie)) asi dospěl k výpočtu konstanty π.

Dnes se zkusme zamyslet nad tím, jak patrně vypočítal obsah kruhu:

Pokus:

Budeme potřebovat kružítko, na papíru vyznačíme střed a opíšeme kružnici o poloměru 5 cm. Podobně kreslil své kruhy (do písku) i Archimédés. Provázkem si změřme obvod kruhu, který vyjde 31,40 cm.

Nyní vezměme pravítko a do kruhu nakresleme čtverec tak, aby se jeho čtyři vrcholy dotýkaly kružnice - délka strany činí 7,2 cm - a jednoduchým výpočtem zjistíme jeho obsah:

7,2 x 7,2 = 51,84 cm čtverečních.

Zbývají však k dopočítání čtyři kruhové výseče. Do jedné z nich vepišme trojúhelník, jehož vrchol bude opět protínat kružnici a změřme jeho výšku (od základny k vrcholu na kružnici). Vyjde cca 1,5 cm. Výpočtem zjistíme jeho obsah: (7,2 x 1,5) / 2 = 5,40 cm, (jde vlastně o polovinu plochy obdélníku). Výseče jsou čtyři, tedy vynásobeno čtyřmi dostaneme další dílčí hodnotu

21,60 cm čtverečních.

Plocha kruhu je tak téměř pokryta, nicméně pořád zbývá osm nepatrných kruhových výsečí nad trojúhelníky. Do jednoho zase vepišme malý trojúhleníček - jeho výška bude cca 0,30 cm při délce základny 4 cm - a spočítáme jeho obsah - (0,30 x4) / 2 = 0,6 cm čtverečních. Vynásobeno 8 (je jich osm) se dostaneme k třetímu dílčímu výsledku

4,8 cm čtverečních.

Nyní všechna tři koncová čísla sečtěme:

51,84 + 21,60 + 4,8 = 78,24 cm čtverečních, což je hledaný (prakticky celý) obsah kruhu.

Nyní vydělme toto konečné číslo obvodem kruhu:

78.24 / 31,40 = 2,49, tzn. 2,5 cm, jinak polovina poloměru (či čtvrtina průměru). A máme tu první vzorec:

Obsah kruhu S = obvod kruhu o krát polovina poloměru r

S = (o x r) / 2

Pro běžné výpočty je však výhodnější zaměnit obvod kruhu jeho dřívějším, již zjištěným výpočtem pomocí písmene π:

π = o / 2 r (či d), tudíž o = 2 π r

S = (2 π r . r) / 2

Po vykrácení dostanem tvar S = π r2

A další vzorec je k dispozici.


Zjištění hodnoty zrychlení

Z běžné praxe je známo, že padající předměty nabývají postupně na rychlosti. Toto zrychlení se označuje písmenem "a". Jak je však stanovit?

1.Základním východiskem budiž poznatek, že se jedná o rychlost, u které se mění postupně čas (nejedná se tedy o pohyb rovnoměrný, nýbrž zrychlený). Pohyb rovnoměrný se uvádí v metrech za vteřinu nebo ve vyšších jednotkách (v kilometrech za hodinu).

2.Protože je zrychlení vlastně také rychlost, ke které se jen něco připočítává, musí mít základní rozměr stejný:

rychlost = dráha vydělená časem (tj. kterou předmět urazil za určitý čas).

Vyjádřeno matematicky: v = s / t

3. Abychom tedy nalezli hodnotu zrychlení, vytvoříme si pracovní vzorec:

zrychlení = dráha / čas (rychlost) krát další čas (tj. "něco" navíc), jehož hodnotu však zatím neznáme:

a = s /( t x časový koeficient)

4. Abychom vyloučili klíčovou potíž s časem, dosaďme místo něho jedničku, čímž získáme zjednodušený vzorec:

zrychlení = dráha / 1, tedy a = s (číselně, bez jednotek)

5. Nu a protože se jedná o čas, pokusně zjistěme, jakou dráhu urazí padající předmět za 1 vteřinu.

Zvolme si postupně dráhu 1, 2, 5, 7 a 10 metrů. Vyjde nám:

déllka v metrech doba trvání pádu

1 0,31- 0,32 s

2 0,45

5 0,70 - 0,71

7 0,84

10 1,0

Zrychlení má tedy u desetimetrové trasy hodnotu 10. Dosud však nevíme, v jakých jednotkách (a zda platí i pro jiné délky).

6. Abychom tyto jednotky zjistili, položme nyní za rovnou jednoho metru dráhu, kterou předmět urazí:

dráha = zrychlení x (nějaký) čas, tedy 1 = 10 x čas, tzn.

čas = 1 / 10 .

Z dřívějších pokusů víme, že předmět urazí dráhu 1 metru za 0,31 - 0,32 vteřiny, jenž se ovšem číselně neshoduje s vypočtenou hodnotou 0,1.

I když je jasné, že čas, potřebný k uražení 1 metru, se s narůstající dráhou (2, 5, 7 a 10 m) musí zkracovat, pokusme se hodnotu 0,32 vypočteným číslem 0,1 nejdříve vynásobit. Vyjde nám 3,2. To nevychází, čas by se rovnal jedné, a to by znamenalo dráhu desetkrát delší (nikoli 1 m, ale 10 metrů)..

Nyní, pro změnu, vypočtenou hodnotu 0,1 zjištěnou hodnotou 0,32 vydělme, a vyjde nám - nechce se věřit - opět 0,32! To znamená, že hodnota 0,1 se rovná druhé mocnině, tj. násobku téhož času! (Přesněji 0,1024, po zaokrouhlení v důsledku nepatrné nepřesnosti v měření na 0,1).

dráha = zrychlení x čas na druhou, tedy s = a x t2, což vychází

1 = 10 x 0,1

Funguje to!!!

Nyní si můžeme vzorec ještě ověřit například u dvoumetrové dráhy. Čas je zde 0,45 vteřiny, tedy 2 = 10 x 0,2025

(tj.0,45 x 0.45, zaokrouhleno z již výše uvedeného důvodu na 0,2) .

Opět to vychází, správnost vzorečku máme ověřenou.

Shrnuto: Jednotka zrychlení je metr za sekundu na druhou a číselná hodnota 10.

Poznámka:

Jako "padající předmět" použijme nejlépe ocelovou kuličku, která má nejmenší povrch a je dostatečně těžká. To proto, abychom snížili na nejnižší možnou míru odpor vzduchu Také je nutno si měření na několika pokusech nacvičit, protože reakční doba spuštění a zastavení stopek může činit až desetinu vteřiny pro každý stisk. Pro vyšší objektivitu bude vhodné, když se měření času zúčastní více lidí najednou.

Jako největší potíž vidím v nalezení kolmé stěny o výšce 10 metrů (délku si ověříme měřícím pásmem). V Hrádku nad Nisou přichází do úvahy buď vysokozdvižná plošina nebo třeba budova Základní školy Lidické, a to nejen kvůli výšce, ale také bezpečnosti (aby se padajícím předmětem nakonec nestal samotný experimentátor)!


Objem jehlanu

Chceme-li do budoucna pokusně určit objem koule, musíme nejdříve zjistit, jak vypočítat obsah pravidelných čtyřbokých jehlanů, kterými vyplníme zbývající kulové výseče po vložení krychle, jejíž vrcholy se dotýkají obvodu koule:

Při předchozím zjišťování obsahu kruhu o poloměru 5 cm jsme zjistilii, že délka strany do kruhu vepsaného čtverce je 7,2 cm. Tato délka je i délkou strany podstavy pravidelného čtyřbokého jehlanu, který potřebujeme vložit do kulové výseče, abychom z větší části zaplnili zbývající prostory koule.

Jak ovšem objem takového jehlanu zjistit?

Poměrně jednoduše. Budeme k tomu potřebovat jemný písek a tvrdý papír.

Nejprve na tvrdý papír nakresleme dva trojůhelníky o délce základny 7,20 cm a výšce 1,50 cm a vystřihněme je. Dále nakresleme čtverec o délce strany 7,20 cm, vyznačme jeho střed, a kříž, vytvořený oběma spojenými trojúhelníky, na něj položme. Protože dosud neznáme žádný vzoreček pro její výpočet, změřme vzdálenost od společného vrcholu trojúhelníků k rohu čtverce, na kterém jsou položeny. Pokud jsme dobře měřili, vyjde nám délka přepony 5,45 cm. Nato nakresleme a vystřihněme čtyři rovnoramenné trojúhelníky o délce základny 7,20 cm a délce zbývajících stran oněch 5,45 cm.

Nyní slepme všechny čtyři trojúhelníky tak, aby se jejich vrcholy stýkaly v jednom bodě. Vznikne jehlan s otevřenou podstavou. Jeho výšku už známe - je 1,50 cm.

Poté nakresleme a vystřihněme čtyři papírové obdélníky o délce stran 7,20 cm a 1,50 cm a jeden o rozměrech 7,20 x 7,20 cm a opět je slepme dohromady tak, aby vznikl kvádr, který má jednu stranu otevřenou.

Do jehlanu vsypme písek až po základnu a nato jej přesypme do vyrobeného kvádříku. Měřítkem zjistíme, do jaké výšky kvádru bude sahat. Mělo by nám vyjít 0,50 cm.

Nyní pár propočtů:

Obsah kvádru je 7,2 x 7,2 x 1,5 = 77,76 cm3.

Obsah písku (jehlanu) vychází 7,2 x 7, 2 x 0,50 = 25,92 cm3.

Oba výsledky vydělme: 25,92 / 77,76 = 0,33

Závěr zní:

Objem pravidelného čtyřbokého jehlanu o výšce 1,50 a délce stran podstavy 7,20 cm je roven jedné třetině objemu kvádru o rozměrech 7,20 cm x 7,20 cm a 1,50 cm. Když tento závěr zobecníme:

Objem = (obsah podstavy jehlanu S x jeho výška v) / 3, dostaneme vzorec:

V = (P x v) / 3

Poznámka:

Pro přesnější měření strany jehlanu můžeme použít také špejli, která se neprohýbá a tužkou na ní označit příslušné body a teprve pak délku přepony měřit.

Má-li učitel k dispozici váhy, může porovnat i váhová množství písku ze zaplněného jehlanu a vrchovatě nasypaného kvádru.


Výše uvedeným způsobem zřejmě postupovali i dávní řečtí vědci - jehlany a kvádry si mohli nechat vyrobit od tesařů, co stavěli lodě, písku bylo všude dost, váhy používali též a stejně tak nějaká měřidla.


Obsah koule

Nyní, když už víme, jak spočítat délku a obsah kruhu a obsah jehlanu (viz níže 6. září 2018), nebude nám dělat potíže vypočítat obsah koule.

Vstup: Koule o poloměru 5 cm

  1. Nejdříve spočítáme obsah krychle, vepsané do koule tak, aby všechny její rohy se dotýkaly obvodu koule. Délku strany krychle už známe - je to 7,2 cm.
    7,2 x 7,2 x 7,2 = 373,248 cm krychlových
  2. Obsah jehlanu, vloženého do zbylých kulových výsečí, už umíme také spočítat::
    V = (P x v) / 3 = ((7,2 x 7,2) x 1,5) / 3 = 25,92 cm 3
    Výsečí je šest, takže 25,92 x 6 = 155,52 cm3
  3. Oba výsledky sečteme:
    373,248 + 155,52 = 528,768 cm3
  4. Z předchozích výpočtů víme, že obvod a obsah kruhu je vždy vztažen k poloměru (π = obvod/poloměr). V prvním případě jsme získali údaj v centimetrech, v druhém v centimetrech na druhou. U trojrozměrné koule musí být rozměr v centimetrech na třetí.
    Vydělme tedy pokusně zjištěný obsah koule obvodem koule (je totožný s obvodem kruhu):
    521,024 / 31,40 = 16,83
  5. Protože obvod kruhu ve výpočtu již jeden poloměr má (2 x π x r), zkusme výsledek vydělit ještě druhou mocninou poloměru, abychom se dobrali k nějakému bezrozměrnému číslu (to znamená ke koeficientu na způsob konstanty π):
    16,83 / 25 = 0,67 (výsledný koefient)
    Obsah koule "V" je tedy 0,67 x obvod koule "o" x poloměr "r" na druhou.
  6. Teď zjednodušme vzorec tak, aby byl rychle použitelný pro běžné výpočty:
    V = 0,67 x 2 x π x r x r na druhou
    V = 1,34 x π x r na třetí
    V = 4/3 x π x r3
  7. Ještě zpětnou zkoušku:
    V = 4/3 x 3,14 x 125 = 523,30 cm3, což je v dobré shodě s nalezenou hodnotou 528,768 cm3.

Povrch koule

Dnešní příspěvek se bude týkat povrchu koule. Ušli jsme už pěkně dlouhou cestu, hodně věcí jsme si dopředu ujasnili či spočítali, takže to teď bude raz dva hotové:

Vstup: koule o poloměru 5 cm

  1. Nejprve vypočítáme povrch jehlanu, kterým jsme vyplnili kulovou výseč v předchozím pokusu. Samo sebou bez základny (je od povrchu odvrácena směrem ke středu koule):
    Délka strany základny je 7,2 cm,
    výška strany jehlanu (což je trojúhelník, tedy ne výška jehlanu!) je 1,80 cm (změřeno pokusně měřítkem),
    což znamená dvakrát obsah pravoúhlého trojúhelníku, na který můžeme tuto jednu stranu rozdělit:
    ((7,2 / 2) x 1,8 ) x 2 = 7,2 x 1,8 = 12,96
  2. Strany jehlanu jsou 4, tj. 12,96 x 4 = 51,80
  3. Celkový počet jehlanů vepsaných do kulových výsečí je 6, tedy 51,8 x 6 = 311,04 cm2. To je náš pokusně zjištěný povrch koule.
  4. Při hledání obecného pravidla (vzorce) pro výpočet povrchu koule vydělme (jako vždy) ponejprv zjištěný povrch obvodem koule:
    311,04 / 31,4 = 10,02, což jest dvakrát poloměr nebo jeden její průměr.
    Panečku, to nám to ale pěkně vyšlo!
    Povrch koule je tedy 2 x poloměr x obvod koule,
    tj. S = 2 x r x o
  5. Nyní vzorec opět zjednodušme tak, že za obvod kruhu dosadíme jeho nám již známý výpočet 2 x π x r
    S = 2 x r x 2 x π x r = 4 x π x r na druhou
    Na závěr zkouška:
    S = 4 x 3,14 x 25 = 314
    Opět ve velmi dobré shodě s nalezeným výsledkem.

Tímto máme jednu důležitou kapitolu uzavřenu. Pan Archimédés a další počtáři by nás za ni určitě pochválili!